撰文：Tobin South、Leon Erichsen、Shrey Jain、Petar Maymounkov、Scott Moore、E. Glen Weyl
编译：Tiao
译者前言：《多元管理》后三节的内容有大量对于这一机制的数学描述，我在翻译的过程中也感到头疼，但因为它的形式化和数学性，它容易被开发成应用和迭代。相信对去中心化社区治理技术感兴趣的人会有所得。
本文是多元管理（Plural Management）一文后三节。上一篇详见《多元管理：在去中心化社区中谁说了算?（上）》
第 3 节 模型细节
多元管理协议描绘了两类关键活动：优先级子系统和审批子系统。这些子系统共同存在，组成更广泛的组织结构；在这个结构中，个人可以赚取用于采取各种行动的管理积分。可以在组织建立之初分配这些积分，并随着新成员参与而自然分配给他们（使创始人的控制力随着时间推移而实际减弱）。积分可以被存储在任何简单的账本中，在与协议互动时被修改。
围绕这些管理积分的共享、控制和可见性，存在着许多额外考量。例如，组织是否应该动态地运行管理积分，以公开每个成员的得分？（从而在本质上创建一种隐含的权威排名）、个人是否应能直接将管理积分转给另一个成员？（这样做可以简化新成员的加入流程，并允许资深成员体面地离开，但也可能减弱精英治理，并导致暗箱操作或阴谋），我们将在结论部分回到这些开放问题。
3.1 优先级设置
概述：
所有议题都列在一个看板上，成员利用二次方资助机制去花费管理积分，从而设定问题的优先级（例如，如果每个成员支出 Pi 积分，那么总优先级就是（√Pi)²)。大额积分持有者可被添加至匹配池。当某个问题已有贡献产生，优先级积分和匹配积分会被冻结，如果贡献被投票通过，这些积分将分配给贡献者。
第一个要考虑的子系统是通过问题看板设置优先级的步骤。在看板上，每个重大任务或战略性挑战都应被分配一个议题，这类似于大多数开源项目在 GitHub 上运作的方式。
每个成员都可以花费他们的一部分管理积分来设定优先级。这是一个动态的过程，成员可以随时为每个议题增加或撤回积分。对于每个分配了 Pi 出去跑积分来为某个议题设定优先级的成员，我们通过求出他们各自所确定的优先级（译注：即花费的积分）的平方根之和，再将该总和平方，来计算出问题的总优先级。因此，问题 j 的二次方优先级为 QPj = (∑√Pji )²。这与二次方资助的原理完全相同，我们还借鉴了匹配基金（Matching Fund）的概念。匹配基金由用于投票的积分生成，或者因大额管理积分持有者（如早期创始成员）而被进一步增加，他们可以选择将资金分配到匹配池中，以激励新的贡献者加入。
实际上，匹配基金可能并不总是有足够的积分来完全补贴二次方优先级。为了解决这个问题，总贡献回报（Contribution Payout，CP）将根据匹配基金的比例去进行调整 [2]。
当对某个问题作出贡献时，应该将该问题的回报冻结 [3]。然后贡献进入如下的投票过程。如果投票失败，该议题将返回看板，以提议其他贡献。
3.2 审批
概述：
贡献投票允许任何成员以 v² 的成本投 v 票来支持或反对。这是一种标准的单议题二次方投票机制。组织的管理员可以从议题奖励中预留积分，以激励成员去预测贡献的成功概率，并奖励正确的预测。这有助于激励小额积分持有者理解更广泛的组织需求并对贡献进行尽职调查。预测者将获得 2v 的回报，管理员可以通过设置参数 K 来降低投票相对于预测的成本。
一旦提出贡献，它将进入投票阶段。任何持有管理积分的成员都有资格投票。根据二次方投票的规则，投出一票的成本是 v² 积分。每个人都可以投支持票或反对票，反对票在计算结果时可以被视为 v 的负值。和任何二次方投票一样，应该有一个适当的时间窗口以进行投票，该窗口过后就依照投票总和进行裁决。在简单情况下，在议题的优先级设置期间投入议题的所有资金都将归贡献者所有。成员在投票期间使用的所有积分都将直接流入为优先级设置而设立的一般匹配基金中 [4]。
这种投票行为简单但有成本。这意味着成员可以使用他们赚取的积分行使权威，从而影响组织或项目的方向。因此，社区中只持有少量积分的早期成员可能会发现，相对于持有的积分，他们去影响一次投票的成本较高。这进一步意味着，拥有少量管理积分的成员可能没有动力去进行尽职调查（工作量通常很大）来评估贡献是否适合项目。
为了激励低权威的成员参与投票并为贡献提供质量信号，组织的管理员可以通过一个额外的预测步骤来奖励投票者。管理员将选择一个参数 K，以降低投票相对于预测的成本。如果没有对于正确投票的预测，那么投票的成本将是 Kv²。如果在投票的同时押注了 v，那么成本将是 Kv²+v。这些正确预测的回报将来自于贡献回报，可以看作是一种处理费，以激励对贡献进行的分析。
预测者可以选择在无需付出成本的情况下不做预测，或者押注恰好 v 数额的积分，以期在预测成功时 [5] 获得 2v 的回报 [6]。对于大的 K 值（例如，1 或更大），由于投票的二次方成本，只有在积分额度极低时投票才具有利润空间（尽管当预测者认为通过的可能性大于 ½ 时，人们仍然可以通过押注 v 积分来使损失最小化）。当 K=0 时，投票没有成本，如果投票者相信他们的投票将会通过，那么（假设他们是风险中性的）应该押注尽可能多的积分。应避免 K=0 的情况，实际上，定理 3 将会表明 K 值应被设置得足够高，以避免过度减少对贡献回报的预期。总的来说，管理员可以逐渐学习和选择合适的 K 值，以激励不同的行为组合。
该机制的一个重要方面是，这种预测奖励仅对小额投票有利。由于投票的二次方成本，具有较高影响力的大额投票在合理的非零 K 值下永远不会有利可图。这是一个重要特性，确保了那些持有大量管理积分的权威人物不会仅仅因为了解社区偏好就获得奖励，而是将奖励给予那些通过适当的手段寻求影响力的人。
第 4 节 对协议属性的分析
在此，我们对协议的投票行为进行分析，旨在展示其特性并推导出实现各种目标或保证所需的参数选择。我们采用上述结构和定义，并引入假设：每个个体都通过一种根据个人偏好和为获得更多管理积分（从而影响未来结果的权力）的线性组合的结果来最大化个人效用。这种分析类似于在机制设计中常常应用的准线性效用设置，并在某些条件下（例如 Buterin 等人（2019）讨论的条件）是适用的。尽管 Gorokh 等人（2021）指出这种扩展可能大致适用于已经长期运行的私人物品经济，但在我们主要研究的公共物品经济中，其适用性不太明确。尽管如此，这仍是分析这些环境中行为的标准起点。我们不会明确建模「管理员」的行为，这些管理员通过提供匹配基金来支持他人的偏好，但可以将他们的行为理解成是出于社区的共同利益，无论是利他主义、意识形态还是未建模的金钱原因（例如，管理员可能持有该组织生产成果的股份）[7]。
我们会通过一系列定理和证明来支持上述建构，并展示特定值的选择效果。首先让我们来关注投票预测的步骤。
定理 1（个人始终会要么押注 0 积分，要么押注 v 积分）：对于给定的贡献投票，一个以使积分最大化为目标的理性个体在以 v² 的成本投 v 票后，如果成功的可能性小于一半，则押注 0 积分；如果大于一半，则押注 v 的额外积分。
证明：在个体已经投了 v 票的情况下，投票预测轮的回报将是 2w 积分。由于投票结果是二元的，返回的值要么是 2w 要么是 0，因此对于成功的概率 2wp，个体的预期回报是 2wp。那么，减去投票和押注的成本，总的预期利润为 2wp- Kv²-w=2(p-½)w - Kv²。
在 v 的条件下，只要预期偏好的发生概率超过 ½，预期利润就会随着 v 的增加而线性增长。鉴于 Kv² 已经作为固定成本支付，个体应在任何出现 p＞½ 的情况下最大化 v。
这给出了直观的结果，即纯粹为了利润最大化的预测者应在预期成功概率大于 50% 时押注可能的最大值 v，否则就完全不会押注。
无论采取何种策略（如图 2 所示），在 K=1 的情况下，投票永远不会产生正收益。实际上，当投票者对结果非常在意时，押注的回报与二次方成本相比显得微不足道。通常情况下，如果投票者相信投票会通过，他们可以选择押注以使成本最小化。对于较小的 K 值，小额投票者可以获得利润。
事实上，对于那些纯粹追求利润最大化的个体来说，存在一个 v 的最优选择。
定理 2（最优的 $v$ 值）：对于给定的 K 值，一个只追求利润最大化的个体应投出 v=(p-½)/K 的票，但这仅适用于 p＞½ 时，否则不应投票。利用这一结果，我们可以确保贡献回报不会因对预测的补贴而被过度消耗。
定理 3（不要过度消耗贡献回报）：可以选择一个保守的 K 值，以确保用于奖励预测的费用占贡献回报的比例不会超过 α。
证明：假设有 N 个持有积分并纯粹追求积分最大化的个体，并且有一个选定的 K 值；如果每个个体都能准确预测并且只在相信自己会成功时才进行押注，那么每个认为自己会押注成功并最终的确押中的个体将以 v=1/2K 去投票并押注，这将给他们带来 1/K 的回报和 2 ÷(1/2K)-K÷(1/2K)-(1/2K)=1/4K 的利润。因此，优先级设置中贡献回报的总耗损将是 N/K。
鉴于我们不希望对贡献回报 CPj 的消耗超过 α, K 应设置为使得 αCPj＞N/K。这种最大回报只有在所有持有积分的成员都向同一方向投票的情况下才会发生。
在这种情况下，可能会超过总预测回报：一个大额积分的持有者已经知道投票会通过（假设所有成员都投支持票）会以很高的积分成本去进行投票和预测，以进一步减少贡献回报。该持有者很可能是想减少对贡献者的奖励和投票者自身的成本，因而导致这种情形出现。然而，由于二次方成本，该投票会花费极大量的投票积分，因此不太可能出现。
从这个分析中我们可以看到，对于大于 0 的合理 K 值，小额投票会得到小额奖励，而大额投票几乎总是成本高昂。这是该设计的重要效果，它创建了一种二次方惩罚，奖励更多人的参与，并进一步奖励小额投票者的决策参与，同时使当前持有大量积分的成员纯粹寻求积累积分的动机最小化。
图 2：左上角：当 K=v=1 时，基于不同的 p 值，在为了最大化利润的情况下 b 的最优值。如果 p＞½，则 b 应被设为 v，否则设为 0。当 K =1 时，利润严格为负。右上角：对于较小的 K 值，较大的押注可以在正确预测时带来正向收益。K 值的选择可以被用来激励或减少纯粹追求利润的行为。底部：投出 v 票并做出相应预测的成员的最大利润。
4.1 混合效用分析
虽然最大化积分回报的分析有助于理解激励和行为，但显然，个体并不仅仅是为了获取积分。事实上，获得积分的主要动机是为了在未来的投票中实现个人的偏好或信念。
相反，我们可以将效用定义为（U），它由在任何给定投票中的管理积分收益以及个体对所偏好的结果的期望（ γ ）和实现该结果的二进制指标（ A ）构成。
公式如下：U=γA+2wp-Kv²-w
从中可以看出，根据混合效用去最大化投注时，我们仍然发现投注在 0 或 $v$ 处的最优点（这自然可以从（d/dw)γA=0 推导出来，换句话说，投注对投票结果没有影响）。
现在请考虑个体的关键性，φ:=dA/dv ，即个体改变投票 A 的结果的能力。为了方便符号表示，我们引入 W=1ifp＞½ else 0，以简化对 w 求导的过程，w 将是 v 或 0。
定理 4（混合效用下 v 的最优值）：对于给定的 K，当其结果不太可能出现时（p＜½），个体应投票 γφ/2K；当预期结果很有可能发生时，就增加 (p-½)/K 以获得额外的奖励。
证明：我们最大化 v 的混合效用。
这与定理 2 得出的结果相似，但在 γ > 0 时，v 的值会增加。实质上，如果成员对结果没有偏好（ γ = 0 ），他们应该按照先前的最大化积分回报的方式进行投票。若有偏好，他们应根据自己的欲望和投票对结果的影响程度来选择一个 v 值去投票。
4.2 一个细致示例
由于这些数字和分析可能显得抽象，我们来用一个拟造的小示例来帮助阐明。
假设有一个社区，有一位创始人拥有 2000 积分，还有八位通过贡献各自获得 1000 积分的成员。那么整个池子总共有 10000 积分的池。创始人创建了一个 1000 积分的匹配基金，以支持新加入的成员。在议题板上，该项目现在已有十个待解决的议题。除创始人外的八名成员均将其中一个议题分配为优先级 5（每人消耗 25 积分）。这个议题的总积分池为 Capj(t)=5²×8=200，而该议题的二次方优先级为 QFJ(t)=（5×8）²=1600。由于匹配池中没有足够的积分去匹配，所有的贡献回报将被相应减少。如果我们假设所有问题的优先级都被均匀设置，那么减少的比例将为 k=0.1。结果是，贡献支出为 CPj(t)=200+100=300。所有这些计算都是自动完成的，成员只需要关注每个议题的总贡献奖励。
通过对该议题的贡献，一名新成员加入社区。高额奖励激励她去选择这个议题而非其它的，但她只是出于兴趣而加入社区。管理积分仅在当前社区中有用。
当贡献进入投票阶段时，没有成员愿意投票，因为他们已经花费了大量积分，而且检查贡献非常耗精力。为了激励成员，管理员（此处为创始人）可以设定 K = 0.1，以此来奖励准确的预测。现在每位成员都检查了贡献，5 位成员投了反对票，另一半投了赞成票。由于 K = 0.1，每位成员预测并下注的成本为 0.1×5²+5=7.5（因为每位成员都非常相信自己的判断）。创始人随后投下了一个不必要的大额票 12，花费了 0.1×12²=14.4。投票最终通过，每位做出正确预测的成员从奖励池中获得了 2×5=10 的回报（这仅从贡献回报中消耗 40 积分，基本上是对于参与投票和进行尽职调查的处理费）。
贡献通过检查，这 40 积分给了正确预测的成员，而 300-40=260 积分给了贡献者，贡献者现在可以在未来的投票中使用其积分。所有用于投票的积分 26.4+7.5×8=86.4 都返回到匹配基金中，以激励未来的贡献。
第 5 节 开放问题
虽然在理论上多元管理很灵活，但在不同的组织场景中它会遇到实际挑战。它适应现代开源环境和传统等级结构的能力引发了关于其在真实世界的有效性和实现策略的问题。本节会走进这些细微之处，邀请更深入的探索和协作研究，以应对在不同环境中应用多元管理时遇到的复杂性。
（1）在完善多元管理的二次方投票机制时，至关重要的是认识到并在战略上解决组织内同质的社会文化群体（如地理位置、部门、角色和来源等维度）之间可能存在的共谋问题。基于基础研究（Miller 等人），这种方法主张采用一种精细的机制，以积极消除特定群体的过度影响。这样的系统不仅能提高公平性，还能促进一个真正多样化和具有代表性的决策过程，确保组织结构内的任何单一派系都不会获得不当的控制，从而与复杂组织结构的现实保持更紧密的一致性。
（2）我们能否扩展这种方法，在组织内部创建一个多层次的决策框架？这将涉及为不同的组织层级（如部门或团队）开发独立但互联的系统，每个系统都有自己定制的投票机制。这样的模型可以促进更本地化和更具有相关性的决策，同时保持与更广泛的组织目标的一致性。由于它将个体小组动态与整体组织结构相融合的潜力，这一方法值得进一步探索。
（3）虽然理性行为者可能会因外在激励而增强动机，但对外在激励的过度使用可能会产生所谓的「动机挤出（Motivation Crowding）」现象，即内在驱动的贡献者不愿参与项目（Frey 和 Jegen，2000）。虽然管理积分本身并不具有货币性，但基于它们而去分配奖励的决策必须在现有组织文化的背景下做出。
（4）就像与薪资相关的研究经常发现的：组织内部地位等级的透明性能够对贡献者行为产生明显影响（Cullen，2023）。虽然这可以提高员工产出，但也可能减少内部协作并可能损害组织的长期目标。鉴于其易于实施，多元管理提供了一个沙盒，来比较和对比积分的公开或私有记录如何影响团队内的表现。
（5）目前，为了防止对管理积分的非正式交易，从而避免管理权威的市场化和价格化，个人不能直接将积分转给其他成员。这有助于防止管理权威的金融化，使某些行为变得更加困难或不可能。例如，如果一位创始人想要迅速引入新成员以增强权威，他们不能直接发送积分，而必须通过复杂的 PR 奖励流程，由整个社区进行投票（这在一定程度上也防止了任人唯亲）。此外，如果成员想要离开，他们也不能将积分迅速转给他人，除非他们将所有积分投入匹配基金。在将直接交易积分整合进多元管理中之前，未来研究需要评估允许积分的直接交易所带来的影响。
（6）决定何时以及如何晋升员工是组织中至关重要的问题。然而，在大型等级制度中，员工通常根据其在现有职位上的表现而不是其设定高层次优先事项的能力来晋升，这导致管理不善（Benson 等人，2018）。评估多元管理对晋升结果的影响，例如评估顶级贡献者在管理员角色中的表现，将会有帮助。
（7）当前的多元管理设计专注于单一组织、社区或项目。许多大型组织由众多子组织共同构成，如部门、单位或项目团队。未来的研究可以探讨使用多元管理去创建多个部分性嵌套的版本，以允许个人在子组织内行使管理权威的同时在更大的工作场所中获得晋升。
（8）负向（Negative Voting）投票能提供有用的信号，但也有可能在群体中引发两极分化（Weber，2021）。这在 Gitcoin 等平台运行的二次方资助的轮次中已有实证观察（Buterin，2020）。在有和没有负向投票的情况下运行多元管理的实例，可以进一步评估其对合作行为的心理影响。
（9）在预测市场的结果可能受到参与者影响的情况下，通过共谋去操纵结果的风险就会上升（Ottaviani 和 Sørensen，2007）。因此，分析多元管理的参与者在有或没有预测结果机会的情况下进行的投票行为，将有助于我们理解是否应该对预测的奖励设置进行限制。
第 6 节 结论
多元管理是一种协议，它在刚性的管理等级与扁平的去中心化组织各自的优势特性之间架起桥梁，允许基于个人对结果和管理决策的长期贡献去动态分配管理权威。通过调整投票 - 预测机制的折扣参数，管理员能够奖励社区中的新成员或积分持有量较低的成员，以激励他们对新的贡献进行尽职调查，确保其达到预期标准或达到具有更高权威的成员的期待。这种管理方法利用二次方资助机制，从广泛的参与者中征求偏好，创建了一个封闭的积分系统，该系统没有在组织之外的货币价值，只能在该项目内使用。虽然这种管理协议的设计在实现选择和对组织生产力的正向结果上存在一些开放性问题，但它可以通过标准的软件设计实践而被构建，并自然地融入开源项目的工作流程。总体而言，这种多元管理模型可以提供一种动态且可扩展的方法，以在任何范围、任务或规模的项目中分配权威和奖励参与。
注释：
[2]：如果在时间 t 的每个议题 j 上我们有 QPj，那么对于匹配基金的补贴需求就是 QPj 和投入的积分 Capj=∑iPji 之间的差额。这个差额为 Mj(t):=QPj(t)-Capj(t)。所有匹配基金的补贴都会按比例降低权重， 加权平均值：Mj(t)=kMj(t)，其中对于总配对池 M{total}，k=M{total}(t)/∑jMj(t)。总的贡献回报是优先级积分与相应的二次方匹配之和 CPj = Capj + 加权平均值：Mj，这只是对 QPj 的按比例缩放。
[3]：为了分析和技术性目的，用于议题设置和该议题匹配基金的所有积分都应被有效地存入托管账户，并被进一步的动态设置忽略。如果贡献未被接受，该议题返回看板，优先级积分保持不变（尽管成员们可能会更改这一点），匹配基金 加权平均值：Mj 只是被重新添加到总的匹配池，并重新规范匹配。
[4]：通过让投票成本和预测成本回流到匹配基金中，这种管理积分的生态系统变得完全自给自足。这是有用的，因为积分永远不会丢失，而且随着时间推移，它们通常会流向那些贡献和管理的人。如果系统中需要更多积分，管理员可以改变他们的参数选择或通过通货膨胀行为向系统中添加更多积分。
[5]：个人只能在他们投票的方向且在其投票量的限制内进行预测，因为基于二次方评分规则的逻辑，这会激励近似真实的预测（Selten，1998）。
[6]：在没有对冲和二次方投票的情况下，我们将于定理 1 中看到，如果能选择 0 到 v 之间的任何一个数值去下注，那么当你认为成功的概率大于一半时，最佳选择始终是下注 v。
[7]：请记住，这些管理积分在其所在组织、项目或社区之外没有价值。如果分配管理控制权可能会帮助到群体使命的延续，或者更简单地说，可能增加管理方面的参与者的数量，从而减少高级成员的工作量，那么这对创始成员或长期成员是有利的。
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